Diferenças entre as pirâmides do Egito e do México

Pirâmide é tudo igual? Não, já que não havia contato entre os povos do Egito e do México dois mil anos a.C. quando as pirâmides começaram a ser feitas. Acompanhe:

Sem comunicação, não houve influência recíproca na cultura da época e as construções mostram características variadas, como se vê abaixo.
 
1. Pirâmides do Egito

Pirâmide de Quéops. Fonte: imagens públicas do Google.

Assim como a pirâmide de Quéops, erguida em 2560 a.C. na cidade de Gizé, essas construções serviam como tumbas para os faraós.

Topo
Ápices bem definidos.

Aspecto externo
Paredes lisas, sem escadas ou objetos nas paredes. Revestimento de blocos de granito polido.

Acesso
Por corredores e câmaras intermediárias para alcançar o interior da construção, onde fica a tumba.

Base
Quadrada.

2. Pirâmides do México

Pirâmide de Chichen-Itzá. Fonte: imagens públicas do Google.

Assim como a pirâmide de Chichen-Itzá, erguida em data imprecisa entre os anos 600 e 800 na cidade de Mérida, as pirâmides do país eram construídas para abrigar altares.

Topo
Plano, para servir de base para a colocação do altar.

Aspecto externo
Escadas e esculturas incrustadas nas paredes. Revestimento de pedras não polidas.

Acesso
Por degraus para alcançar o alto da pirâmide onde ficavam os altares.

Base
Quadrada ou retangular.

Adaptado de:

Revista Nova Escola, ano 24, nº 224, p. 28. Ministério da Educação: agosto de 2009. 

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Roubo da fórmula da equação de 3º grau

A partir dos séculos XV e XVI, abre-se entre os matemáticos italianos uma das páginas mais curiosas da história da matemática. Acompanhe:

Imagem: Freepik.

Naquela época, a Itália era um dos maiores centros comerciais do mundo. Florença e Veneza progrediam a passos largos. Nesse ambiente conviviam desde as pessoas que tinham prática em cálculo até os mais famosos algebristas.

Os algebristas tinham por costume fazer debates públicos para resolver problemas algébricos, promovendo suas descobertas e proezas na matemática. Nesse tempo, estourou uma verdadeira guerra, que tinha como objetivo a equação do terceiro grau.

Tudo começou em 1494, quando Fra Luca Pacioli, na Suma de Arithmetica, afirmou que os matemáticos não sabiam solucionar uma equação do terceiro grau por métodos algébricos.
O primeiro a aceitar o desafio foi o professor de matemática da Universidade de Bolonha, Scipione del Ferro. 


Scipione conseguiu achar a solução para a equação do tipo x3 – bx + c = 0, mas por muito tempo manteve segredo sobre isso. Foi aí que entrou em cena o matemático Niccolo Fontana.

Pressentindo que ia morrer, Scipione revelou a um de seus alunos, Antonio Fiore, a solução da equação do terceiro grau. Com a fórmula, Fiore desafiou o matemático Niccolo Fontana, de apelido Tartaglia, a resolver 30 problemas do terceiro grau.

Tartaglia. Fonte: imagens públicas do Google.

Em contrapartida, Fiore deveria resolver 40 problemas propostos por Tartaglia. Em 40 dias, Niccolo resolveu os problemas. Mas Fiore não conseguiu nem um dos apresentados por Tartaglia.

Um pouco da História de Tartaglia
Em 1512, os franceses invadiram a cidade italiana de Bréscia. Niccolo Fontana tinha 12 anos e morava lá. Todos os habitantes se refugiaram na catedral. Isso de nada valeu, pois os invasores fizeram uma terrível chacina.

Nicolo escapou vivo, mas com grandes ferimentos, inclusive na boca, o que produziu uma enorme cicatriz que o tornaria gago para o resto da vida. Essa característica valeu-lhe o apelido de Tartaglia.

Muito pobre para frequentar uma escola, o pequeno Niccolo arrumou um livro para estudar e usava as pedras sepulcrais do cemitério como lousa. Vencendo todos os obstáculos, Tartaglia se tornaria professor de Matemática e Mecânica.

O roubo
Tartaglia sabia que Fiore conhecia a solução da equação x3 – bx + c = 0, mas desconhecia a solução da equação x3 – ax2 + c = 0, que era uma descoberta sua. Todos os problemas por ele apresentados teriam que ser resolvidos com essa equação.

Tanto Tartaglia como Scipione só conseguiram resolver equações incompletas do terceiro grau. Nas de Scipione faltava o termo em x2. Nas de Tartaglia, faltava o termo em x.

Mas foi na solução da equação completa que surgiu o roubo da fórmula, com a intromissão do inescrupuloso matemático italiano Girolamo Cardano (1501-1576).

Cardano. Fonte: imagens públicas do Google.

Com muita astúcia, Cardano conseguiu que Tartaglia lhe revelasse o seu método de resolução da equação do terceiro grau, comprometendo-se a guardar absoluto segredo.

Quebrando todos os juramentos feitos, publicou a solução no livro Ars Magna, no qual ainda afirmava que era ele o autor da descoberta.

Indignado, Tartaglia desafiou Cardano para um debate público. Este fugiu do confronto direto, mandando no lugar seu melhor aluno, Ludovico Ferrari, que foi totalmente derrotado.

Apesar de tudo, Cardamo teve seus méritos, pois, na Ars Magna, resolvera a equação completa do terceiro grau, apresentara a solução da equação do quarto grau e, além do mais, ainda considerara os números negativos como números.

Os matemáticos italianos da época, embora sem muito rigor, prepararam o campo para o formidável desenvolvimento que a matemática iria ter nos séculos seguintes.

Equações de vários graus   
A equação do segundo grau, ou quadrática, é uma expressão da forma ax2 + bx + c = 0, em que a, b e c são números conhecidos, e x é uma incógnita, que se deseja conhecer. Para isso, usa-se a seguinte fórmula:

x = – b ± √Δ
      2·a

A equação do terceiro grau expressa na forma: ax3 – bx + c = 0 pode ser resolvida por meio da seguinte fórmula, já bem mais complicada:

Fonte: imagens públicas do Google.

A solução de uma equação do quarto grau usando-se fórmulas que intervêm os coeficientes conhecidos sob os sinais de raiz é tão complicada que, na prática, os matemáticos lançam mão de outros processos de cálculo.

As equações de grau maior que quatro não têm uma fórmula de resolução usando-se radicais. Isso, contudo, não significa que não possamos resolver uma equação do quinto grau, do sexto grau, etc.

A solução de equações de grau maior que quatro, hoje em dia, é encontrada por processos de aproximação ou usando-se computadores, quando elas são muito complicadas.

Adaptado de:

OLIVEIRA, Antônio Marmo. A Álgebra e o furto da fórmula. Ciência Hoje na Escola, vol. 8. Matemática – Por quê e para quê? Rio de Janeiro, SBPC/Editora Global, 1999. 

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Caligrama: o que é e como fazer o seu

O caligrama é um poema com escrita e imagem. Nele, a parte escrita faz referência à imagem, tornando-as parte de um mesmo significado. Acompanhe:

Honestamente, nunca tinha ouvido a palavra caligrama até a universidade. Uma professora nos trouxe esta atividade e explicou o que era. Achei bastante interessante e nos propomos a fazer.

Para trabalhar o caligrama com crianças, é interessante usar o que eles conhecem, sejam músicas, cantigas, imagens e usar muitas cores para enriquecer as imagens.

Imagem: arquivo pessoal. Clique para ampliar.

Nessa ilustração de borboleta, usamos a música “borboletinha, tá na cozinha (...)”, com a música contornando a imagem.

Imagem: arquivo pessoal. Clique para ampliar.

Nessa ilustração de bebê, a música usada é aquela “dorme, nenê, que a mamãe tem o que fazer (...)”.

Imagem: arquivo pessoal. Clique para ampliar.

Com a Galinha Pintadinha, usamos a música com mesmo nome: “quem é que tem um monte de pintinha? (...)”.

Imagem: arquivo pessoal. Clique para ampliar.

Já com o gatinho, usamos a versão atual da música “atirei o pau no gato”: “não atire o pau no gato (to-to), porque isso (isso-isso), não se faz (faz-faz) (...)”.

História do Caligrama

Guillaume Apollinaire, escritor italiano, foi o criador do termo, sendo a primeira pessoa a usar o termo calligramme, em 1918. É possível observar sua arte na carta que ele enviou à sua amada condessa Louise de Coligny-Châtillon. Veja abaixo:

Fonte: imagens públicas do Goolge.

O caligrama pode ser usado para trabalhar diversos temas e torna a aprendizagem mais estimulante para o aluno, pois é algo diferenciado, fugindo daquela temática de atividade no livro ou no caderno, trazendo uma prática nova. 

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Explicando lógica e inferência com Sherlock Holmes

Quando pensamos em lógica e raciocínio nos lembramos de Sherlock Holmes, o famoso detetive, sempre acompanhado de seu ajudante Watson. Mas como Sherlock chega às suas conclusões? É isso que vamos explicar. Acompanhe:

Fonte: imagens públicas do Google.

Quando um enunciado é feito, duas questões importantes podem ser imediatamente colocadas: de que maneira chegou a ser concebido? Que razões existem para aceitá-lo como verdadeiro?

Trata-se de duas questões diferentes. Seria um grave erro confundi-las, e um erro pelo menos tão sério quanto esse é confundir as respostas.

A primeira pergunta relaciona-se com a descoberta; as circunstâncias lembradas por ela formam o contexto de descoberta.

A segunda relaciona-se com a justificação; assuntos que aqui se tornam relevantes cabem no contexto de justificação.

Sherlock Holmes é um bom exemplo de pessoa com soberbos poderes de raciocínio. Sua habilidade ao inferir e chegar a conclusões é notável. Não obstante, a sua habilidade não depende da utilização de um conjunto de regras que norteiam o seu pensamento.

Holmes é muito mais capaz de fazer inferências do que o seu amigo Watson. Holmes está disposto a transmitir seus métodos ao amigo, e Watson é um homem inteligente.

Infelizmente, contudo, não há regras que Holmes possa transmitir a Watson, capacitando-o a realizar os mesmos feitos do detetive.

Mangá do Sherlock Holmes. Imagem: divulgação.

As habilidades de Holmes defluem de fatores como a sua aguda curiosidade, a sua grande inteligência, a sua fértil imaginação, seus poderes de percepção, a grande massa de informações acumuladas e a sua extrema sagacidade.

Nenhum conjunto de regras pode substituir essas capacidades. Se existissem regras para inferir, elas seriam regras para descobrir.

Na realidade, o pensamento efetivo exige um constante jogo de imaginação e de pensamento. Prender-se a regras rígidas ou a métodos bem delineados equivale a bloquear o pensamento.

As ideias mais frutíferas são, com frequência, justamente aquelas que as regras seriam incapazes de sugerir.

É claro que as pessoas podem melhorar as suas capacidades de raciocínio pela educação, através da prática, mediante um treinamento intensivo. Isso tudo, porém, está longe de ser equivalente à adoção de um conjunto de regras de pensamento.

Seja como for, ao discutirmos as específicas regras da lógica, veremos que elas não poderiam ser encaradas como adequados métodos de pensar.

Imagem: Freepik.

As regras da lógica, se fossem aceitas como orientadoras dos modos de pensar, acabariam se transformando numa verdadeira camisa de força.

O que acabamos de dizer pode causar certo desapontamento. Frisamos de modo enfático o lado negativo, esclarecendo aquilo que a lógica não pode fazer. Mas, então, para que serve a lógica?

A lógica nos oferece métodos de crítica para avaliação coerente das inferências. É nesse sentido, talvez, que a lógica está qualificada para dizer-nos de que modo deveríamos pensar.

Completada uma inferência, é possível transformá-la em argumento, e a lógica pode ser utilizada a fim de determinar se o argumento é correto ou não.

A lógica não nos ensina como inferir: indica-nos, porém, que inferências podemos aceitar. Procede ilogicamente a pessoa que aceita inferências incorretas.

Para poder apreciar o valor dos métodos lógicos, é preciso ter esperanças realistas quanto ao seu uso.

Quem espera que um martelo possa efetuar o trabalho de uma chave de fenda está fadado a sofrer grandes desilusões. Quem sabe usar um martelo conhece sua utilidade.

A lógica interessa-se pela justificação, não pela descoberta. Ela fornece métodos para a análise do discurso, e essa análise é indispensável para exprimir de modo inteligível o pensamento e para a boa compreensão daquilo que se comunica e se aprende.

Como diria Albert Einstein: “A lógica pode levar de um ponto A a um ponto B. A imaginação pode levar a qualquer lugar”.

Fonte:

 SALMON, Wesley C. Lógica. Rio de Janeiro: Guanabara/Koogan, 1987. p. 28-29. 

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Expressões populares com nome de cores

Algumas expressões populares que usamos no dia a dia têm o nome de cores e nem paramos para analisar. Elas são mais frequentes do que imaginamos. Veja a seguir o significado de algumas delas:

Imagem: Freepik.

A grama do vizinho é sempre mais verde
Exemplo: Juliana vive dizendo que queria ter a vida igual a da amiga, mas eu avisei para parar com isso, mas não tem jeito; para algumas pessoas, a grama do vizinho é sempre mais verde.
Definição: a vida do outro parece ser melhor.

Amarelar
Exemplo: Meus amigos amarelaram e desistiram de entrar no casarão abandonado.
Definição: desistir.

Anos dourados
Exemplo: Aqueles foram os anos dourados da nossa vida.
Definição: momentos importantes.

Arma branca
Exemplo: Alguns bandidos assaltam usando armas brancas.
Definição: todo objeto criado/usado para ferir alguém, como facas, machados e martelos.

A situação está preta
Exemplo: Marcos reprovou de ano. A situação está preta para ele.
Definição: situação ruim, dificuldade.

Azul de fome
Exemplo: Comi faz tanto tempo que estou azul de fome.
Definição: com muita fome.

Azular
Exemplo: Aquele menino azulou e ninguém viu mais.
Definição: gíria usada no Nordeste como sinônimo de sumir.

Barriga branca
Exemplo: Meu filho é um barriga branca, tenho que fazer tudo por ele.
Definição: pessoa sem iniciativa.

Branqueamento
Exemplo: Conservo os meus legumes através do branqueamento.
Definição: processo em que se cozinha os legumes e, rapidamente, retira-se eles da água quente, jogando-os em um recipiente com água e gelo.

Branco feito papel
Exemplo: Quando João soube da notícia, ficou branco feito papel.
Definição: ficar pasmo ou assustado.

Corar
Exemplo: Maria ficou corada com os elogios de Marcos.
Definição: ficar com vergonha.

Chuva de prata
Exemplo: Os noivos passaram felizes pela chuva de prata.
Definição: quando os noivos saem da igreja e os convidados jogam arroz ou pétalas de rosas sobre eles.

Da cor do pecado
Exemplo: Vou me bronzear para ficar da cor do pecado.
Definição: pele bronzeada.

Dar branco
Exemplo: Na hora da prova me deu um branco.
Definição: esquecer.

Em branco
Exemplo: Marina entregou a prova em branco.
Definição: sem nada escrito.

Estar no vermelho
Exemplo: Não posso comprar essa roupa, pois estou no vermelho.
Definição: pouco dinheiro, orçamento apertado.

Inveja branca
Exemplo: Amiga, eu invejo sua sorte no trabalho, mas é inveja branca, tá?
Definição: desejar algo de alguém de forma a não prejudicar o outro.

Jogar verde para colher maduro
Exemplo: - Estava conversando despretensiosamente com ela e descobri um monte de coisas!
- Você jogou verde para colher maduro!
Definição: fazer perguntas aparentemente comuns buscando descobrir informações nas entrelinhas.

Laranja
Exemplo: Escolheram um laranja para se passar por dono da empresa.
Definição: pessoa cujo nome é colocado em negócio ilegal.

Parece que viu passarinho verde
Exemplo: Por que você está sorrindo tanto? Parece até que viu passarinho verde.
Definição: alegria sem motivo aparente.

Pegar no verde
Exemplo: Eu e Juliana falamos ao mesmo tempo, mas eu peguei no verde primeiro.
Definição: superstição de que, quando duas pessoas falam ao mesmo tempo, quem tocar em algum objeto verde primeiro terá sorte.

Preto no branco
Exemplo: Helena é mais flexível, as coisas com ela não são tudo preto no branco.
Definição: uma coisa ou outra, sem haver meio-termo.

Roxo
Exemplo: Meu braço está todo roxo.
Definição: hematoma, mancha roxa que surge após pancadas.

Sangue azul
Exemplo: Aquela família é de sangue azul.
Definição: ser da nobreza, ser rico.

Verde de inveja
Exemplo: Juliana ficou verde de inveja quando viu a casa que eu comprei.
Definição: sentir muita inveja.

Verdinha
Exemplo: Estou com a verdinha em minhas mãos.
Definição: dinheiro.

Vermelha
Exemplo: A irmã da Dona Maria está com uma vermelha na perna.
Definição: expressão usada no Nordeste como sinônimo para erisipela, uma infecção bacteriana.

Vermelho de raiva
Exemplo: Minha mãe vai ficar vermelha de raiva quando vir essa bagunça.
Definição: ficar furioso.

Sorriso amarelo
Exemplo: Esse seu sorriso amarelo não me engana.
Definição: sorriso falso.

Tudo azul
Exemplo: Como está a minha vida? Ah, está tudo azul. 
Definição: tudo ótimo. 

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Resolvendo o enigma do túmulo de Diofanto de Alexandria

Diofanto de Alexandria, matemático grego que viveu por volta do ano 250 d.C., ficou famoso por uma coleção de livros que escreveu, A Arithmetica, inteiramente dedicada ao estudo de equações. Nessa obra, foram apresentados 189 problemas e suas soluções.

Fonte: Imagens públicas do Google.

Por esse motivo, Diofanto disputa com o francês Viète o título de pai da álgebra. Conta-se que o problema abaixo, escrito em forma de dedicatória no túmulo de Diofanto, teria sido grafado por um de seus alunos:

Caminhante! Neste local foram sepultados os restos de Diofanto. Os números podem mostrar quão longa foi sua vida.

I à Sua formosa infância durou um sexto de sua vida.

II à E mais um doze avos de sua vida havia transcorrido quando os pelos lhe cobriram o rosto.

III à Casou-se passados mais um sétimo de sua existência.

IV à Cinco anos mais tarde nasceu sua única filha.

V à Que viveu a metade de anos que viveu seu pai.

VI à Diofanto morreu quatro anos após sua filha.

Com quantos anos morreu Diofanto?

Representando por x a idade com que morreu Diofanto:

Os fatos da vida de Diofanto (enumerados de I a VI) constituirão os termos da equação para calcular seu tempo de vida.

A letra x será o número de anos que o matemático viveu. Já os outros termos serão deduzidos a partir das informações que constam em seu túmulo:

I à x/6

II à x/12
   
III à x/7

IV à 5

V à x/2

VI à 4

Organizando a equação:

x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4

Calculando o mmc de 2, 6, 7 e 12: 84

84x  =  14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336
----       ---------------------------------------------
84                               84

Multiplicando meios por extremos:

84x . 84 = (14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336) . 84

Passando o 84 que está multiplicando no primeiro membro para o segundo membro, dividindo:

84x = (14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336) .  84
                                                                      ---
                                                                      84

84x = 14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336

84x – 75x = 420 + 336

9x = 756

x = 756/9

x = 84 anos

Pelos cálculos realizados, encontramos que Diofanto morreu com 84 anos. 

Fonte:

Aprendendo Matemática 6ª série. GIOVANNI, José Ruy e PARENTE, Eduardo. São Paulo: FTD, 1999. 

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