Por que se usa x e outras letras para expressar incógnitas?

16:59:00 Professora Manuka 2 Comentários

O uso do x e de outras letras para simbolizar números desconhecidos é constantemente utilizado na matemática. Não se sabe ao certo quando se iniciou essa prática, mas o assunto remete à Grécia Antiga, quando Aristóteles utilizava uma ou duas letras maiúsculas para denotar uma magnitude ou um número. Acompanhe:

Imagem: Freepik.

Diofanto de Alexandria (nascido provavelmente entre 200/214 e falecido entre 284/298), o pai da Álgebra, utilizava uma letra grega com um acento. George Heinrich Ferdinand Nesselmann (1811-1881), um filólogo e historiador matemático, utilizou esse ideograma para simbolizar a letra sigma (Σ) e frisou a possibilidade de que a dita seleção se devia ao fato de que aquela era a única letra do alfabeto grego que não era usada para escrever números, ainda que existam diferentes opiniões a respeito.

Em 1463, Benedetto de Florencia empregou a letra grega rho para uma incógnita em seu trabalho “Trattato di praticha d'arismetrica”.

Em Roma, o livro “Liber abaci” (1202) de Leonardo de Pisa representava os dados com letras minúsculas. Enquanto isso, Jordanus Nemorarius (1225-1260) utilizava letras para substituir números.

O primeiro autor de um livro de Álgebra na Alemanha, Christoff Rudolf, empregava as letras a, c e d para representar números, ainda que não as usasse nas equações algébricas da sua obra “Behend vnnd Hübsch Rechnung”.

Michael Stifel utilizou o q (abreviação de “quantita”, que Cardan já havia empregado), mas também usou A, B, C, D e F para as incógnitas em seu tratado “Arithmetica Integra” de 1544.

O médico e matemático italiano Gerolamo Cardano (1501-1576) utilizava as letras a e b para designar números desconhecidos em seu volume “De regula aliza” (1570).

Em 1575, o filólogo Guilielmus Xylander traduziu do grego para o latim o trabalho “Arithmetica” de Diofanto de Alexandria e empregou a letra N (numerus) para as incógnitas e equações.

Em 1591, François Viète foi a primeira pessoa a utilizar letras para as incógnitas e constantes em equações algébricas. Empregou vogais para as incógnitas e consoantes para os dados conhecidos (todas maiúsculas) em seu trabalho “In artem analyticam isagoge”. Viète escreveu para por em regra: “Quod oopus, ut arte aliqua juventur, symbolo constanti et perpetuo ac bene conspicuo date magnitudines ab incertis quaesititiis distinguantur ut […]  magnitudines quaesititias elemento A aliave litera volcali, E, I, O, V, Y […] elementis B, G, D, aliisve consonis designando.”  

Thomas Harriot (1560-1621) empregou vogais minúsculas para as incógnitas e consoantes também minúsculas para as quantidades conhecidas em seu livro “Artis analyticae praxis, ad aequationes algebraicas”.

Pode-se ler sobre o uso do x, y ou z, praticado por Descartes, no seguinte texto de Florian Cajori: “O uso do x, y ou z para representar as incógnitas se deve a René Descartes, graças a sua obra La géometrie (1637)”. Sem comentários, introduz o emprego das primeiras letras do alfabeto para expressar quantidades conhecidas e a utilização das últimas letras do alfabeto para expressar incógnitas.

René Descartes. Fonte: Imagens públicas do Google.

Para as coordenadas, emprega X e Y. Nas equações, no terceiro volume de “Géometrie”, o X predomina.  

Nos manuscritos produzidos entre 1629-1640, o z aparece só uma vez, e em outros locais, aparecem o x e o y. Em um fragmento de “O oval de Descartes”, confeccionado antes de 1629, o x só aparece como incógnita e o y se utiliza como parâmetro. Esta é a primeira vez que Descartes empregou uma das últimas letras do alfabeto para representar incógnitas. Mais tarde usou x, y ou z de novo como quantidades desconhecidas.

Desta forma, Johannes Tropfke, Peter Treutlein e Maximillian Curtze adiantaram que o símbolo para as incógnitas utilizado pelos primeiros escritores alemães, Ϟ, parecia-se muito com um x e que facilmente poderia ser considerada como tal, e que Descartes interpretou e empregou como um x. Entretanto, o modo que Descartes introduziu as variáveis conhecidas a, b ou c, etc. e as variáveis desconhecidas x, y ou z tornam essa hipótese improvável.

Segundo uma carta que Gustaf Eneström enviou em 26 de março de 1619 a Isaac Beecman, Descartes utilizou o símbolo Ϟ como elemento distinto do x, dessa forma não o teria confundido com o x. Em algum momento antes de 1637, Descartes empregou o x ao lado de Ϟ. Naquele tempo, ele continuava usando x, y ou z para as variáveis desconhecidas. Os símbolos germânicos como Ϟ, que representam o x e são encontrados na álgebra de Cristóbal Clavio, aparecem com frequência em um manuscrito de Descartes, o livro “Opuscules de” (1619-1621).

Todos esses acontecimentos fizeram com que Johannes Tropfke abandonasse, em 1921, sua antiga visão da origem do x, ainda que tenha discutido veementemente a similaridade entre xϞ, e a familiaridade de Descartes com Ϟ, que podem ser atribuídas ao fato de que ao final do livro “Géometrie”, de Descartes, o x aparece com mais frequência do que o y e o z. Gustaf Eneström, por outro lado, inclinou-se a pensar que a predominância do x sobre o y e o z devia-se a razões tipográficas, pois o x é representado mais vezes já que sua aparição é mais usual em línguas latinas e românicas.

Segundo relatou Johnson: Descartes introduziu a equação ax + by = c, que ainda é utilizada na atualidade para descrever a equação de uma reta. O emprego predominante da letra x para representar um valor desconhecido apareceu de maneira muito interessante. Durante a impressão da obra “La Géometrie” e seu apêndice “Discours de la méthode”, que introduziu a geometria coordenada, a máquina de impressão teve um problema. 

Enquanto o texto era impresso, as últimas letras do alfabeto começaram a ficar escassas na máquina. O impressor perguntou a Descartes se ele se importava que x, y ou z aparecessem indistintamente nas equações do livro. 

Descartes especificou que não importava o emprego de qualquer uma das três para especificar uma quantidade desconhecida. O impressor utilizou o x para a maioria das variáveis desconhecidas, já que as letras y e z eram utilizadas com maior frequência na língua francesa do que o x.

Alguns historiadores concentraram sua atenção no x, ignorando o y e o z e todas as mudanças na notação realizadas por Descartes. Esses escritores se esforçaram para conectar o x com outros símbolos antigos ou letras árabes.

Dessa forma, existem outras explicações para o emprego feito por Descartes do x, y ou z nas variáveis desconhecidas. Por exemplo, a definição de x que apareceu no “Novo Dicionário Internacional Webster” (1909-1916) e sua subsequente segunda edição, em que se proclamava que: “Antigamente, em torno de 3000 ou 2500 a.C., o x foi usado como abreviação da palavra árabe “shei” ou “shai”, termo que empregavam para determinar um número indefinido ou uma incógnita, que significa “coisa,algo”, e que na Idade Média também foi utilizado para designar as variáveis desconhecidas. 

Foi posteriormente transcrita pelos gregos ao alfabeto helênico como “xei” ou “xai”. As terminações foram sendo cortadas para diminuir a complexidade das fórmulas matemáticas, sendo convertido na letra x dos nossos dias.”

Ainda assim, Florian Cajori disse que não existem evidências desse feito.

De acordo com a segunda edição do “Dicionário de Inglês Oxford”: “A introdução de x, y ou z como símbolo das quantidades desconhecidas se deve a Descartes e seu livro de 1637 “Géometrie”, que utilizou os símbolos a, b e c para quantidades conhecidas e usou a última letra do alfabeto, z, para representar a primeira incógnita e x e y para a segunda e terceira incógnitas, respectivamente. 

Não há evidência que respalde a hipótese de que o x se derive do uso, na época medieval, de “xei” ou “shei” (coisa, algo), empregada pelos árabes para especificar quantidades desconhecidas, ou do compêndio L. res “coisa” ou radix “raiz” (que parece ser um x escrito de forma muito pobre), utilizado pelos matemáticos medievais.”

Descartes empregou letras para representar somente números positivos; um número negativo podia ser representado como –b, conforme dizia o segundo volume de Florian Cajori, em sua página 5. Johannes Huddde foi o primeiro a permitir que uma letra representasse um número positivo ou negativo em sua obra “De reductione aequationum” em 1657, publicada no final do primeiro volume da segunda edição em latim do livro “René Descartes’ Géometrie”, escrito por Frans Van Schooten.

Jonas Moore escreveu no exemplar de 1660, em “Arithmetic”: “Escreva sempre as quantidades ou números conhecidos com consoantes e aqueles que são desconhecidos com vogais; ou também as quantidades desconhecidas com as primeiras letras do alfabeto e as incógnitas com as últimas, como z, y ou x. Isso tornará seu trabalho menos confuso.”

Os números complexos, com a notação a + bi, foram introduzidos por Leonnard Euler (1707-1783).

Fonte: Blogodisea.

Tradução e adaptação: Professora Manuka

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