Paradoxo do Hotel Infinito de Hilbert

15:12:00 Professora Manuka 0 Comentários

O matemático alemão David Hilbert propôs um exercício muito interessante envolvendo o conceito de infinito que ficou conhecido como Hotel Infinito de Hilbert. Acompanhe:

Imagem: Freepik.

Imagine um hotel com um número infinito de quartos, sendo todos eles ocupados por um número infinito de hóspedes.

Então, chega mais uma pessoa procurando um quarto. Ao invés de mandá-la embora, o gerente diz que irá providenciar-lhe um quarto. Mas como ele fará isso em um hotel lotado?

Achou difícil? Temos um vídeo explicativo abaixo dessa explanação, caso queira vê-lo primeiro.

Nesse caso, devemos ter em mente que o infinito não se comporta como os outros números. Em outra situação, seria impossível, uma vez que todos os quartos estão ocupados. Entretanto, em se tratando de infinito, é possível acomodar mais um hóspede. Veja como:

O gerente pede ao hóspede do quarto nº 1 para mudar para o quarto nº 2, então pedindo ao hóspede do quarto nº 2 para mudar para o quarto nº 3, e assim sucessivamente. Cada hóspede irá mudar-se para o quarto seguinte.

Mas como isso é possível, se todos os quartos já estão ocupados?

Como foi dito, o infinito não se comporta como os outros números, veja essa propriedade:
∞ + 1 = ∞

Dessa forma, será possível acomodar o novo hóspede, pois, mesmo lotado, sempre será possível adicionar mais um. Assim, o hotel infinito lotado com infinitos hóspedes ainda poderá acomodar infinitos novos hóspedes.

Ainda nessa mesma situação, o hóspede teria que esperar por um tempo infinito até poder ocupar seu quarto, pois ele precisaria aguardar que o hóspede do quarto de nº N fosse para o quarto nº N + 1, para que o hóspede do quarto nº N – 1 fosse para o quarto nº N, regredindo até que o segundo quarto ficasse livre para o primeiro hóspede ocupá-lo, dando assim a vaga tão esperada.

O processo pode ser repetido infinitas vezes, para acomodar infinitos clientes que possam querer uma vaga nesse hotel.

Não satisfeito com essa situação, Hilbert propôs ainda que um número infinito contável de ônibus traga um número infinito contável de passageiros buscando um quarto. O gerente, muito receptivo, decide que irá acomodar a todos. Como? Veja:

O gerente pede ao hóspede do quarto 1 para mudar-se para o quarto de número 2, pede ao ocupante do quarto 2 para mudar-se para o quarto de número 4, pede ao ocupante do quarto 3 para mudar-se para o quarto de número 6, e assim sucessivamente. Cada ocupante irá mudar-se para um quarto cujo número é o dobro do que ocupava.

Em se tratando de Números Naturais, a partir do 1, temos a seguinte propriedade:

Todo número multiplicado por 2 terá como resultado um número par (nesse caso).

Dessa forma, todos os infinitos hóspedes ocuparão infinitos quartos com números pares, deixando infinitos quartos com números ímpares livres para os infinitos hóspedes que estão chegando.

Ainda assim, é possível acomodar outros infinitos hóspedes, usando outras propriedades matemáticas para deixar os quartos vagos. Para demonstrar essas possibilidades e explanar melhor o paradoxo, assista ao vídeo abaixo.

- Importante

O vídeo está em inglês, mas possui legenda de qualidade (não é aquela automática). Basta clicar na caixinha que está antes da engrenagem.




Confira abaixo outras propriedades do infinito que irão ilustrar melhor como esse número se comporta:

Usando o Infinito

Às vezes podemos usar o infinito como um número, mas ele não se comporta como um número real.

Por exemplo: ∞ + 1 = ∞

Que diz que infinito mais um ainda é igual a infinito.

O mais importante sobre o infinito é que:

-∞ < x <

Onde x é um número real.

Por extenso fica:

“O infinito negativo é menor do que qualquer número real e o infinito positivo é maior do que qualquer número real”.

Outras Propriedades do Infinito

Propriedades Especiais do Infinito
∞ + ∞ = ∞
(-∞) + (-∞) = - ∞

x=  ∞
(-∞) x (-∞) = ∞
(-∞) x ∞ = -∞
∞ x (-∞) = -∞

x + ∞ = ∞
x + (-∞) = -∞
x - ∞ = -∞
x - (-∞) = ∞

Para x > 0:
x x ∞ = ∞
x x (-∞) = -∞

Para x < 0:
x x ∞ = -∞
x x (-∞) = ∞



Operações indefinidas:

As operações abaixo ainda não possuem resposta, uma vez que não se chegou a um consenso para elas:

Operações Indefinidas
0 x
0 x (-∞)
∞ + (-∞)
∞ - ∞
∞ / ∞
0
1


A operação ∞ / ∞ não é igual a 1?
Não, porque não sabemos o quão grande o infinito é, então não podemos dizer que dois infinitos são iguais. Por exemplo, ∞ + ∞ = ∞, então:

Substituindo o primeiro pela expressão ∞ + ∞, temos que:

∞ / ∞ = (∞ + ∞) / ∞ 
 
Seria como: 1 / 1 = 2 / 1 ou 1 = 2. Poderia ser também 1 = 3 e assim sucessivamente, portanto ∞ / ∞ é indefinido. 

Infinitos Conjuntos
Se você continuar a estudar esse assunto, irá encontrar discussões sobre infinitos conjuntos e a ideia de diferentes tamanhos de infinito.

Esse assunto tem nomes especiais como Aleph-nulo ou Aleph-zero (relativo aos Números Naturais), Aleph-um e assim sucessivamente, que são usados para medir o tamanho dos conjuntos.

Por exemplo:

Existem infinitos Números Naturais {0, 1, 2, 3, 4,...}, mas existem mais Números Reais (como 12,308 ou 1,1111115) porque existem infinitas outras variações possíveis com os números da parte decimal.


Referências:

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